Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок.

Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока: третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Ответ

127 яблока

Решение задачи

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил x/2 + 1/2 = (x + 1)/2, второй 1/2(x - (x + 1)/2) + 1/2 = (x + 1)/2², третий 1/2(x - (x + 1)/2 - (x + 1)/4) + 1/2 = (x + 1)/2³, седьмой покупатель (х + 1)/2⁷. Имеем уравнение: (х + 1)/2 + (х + 1)/2² + (х + 1)/2³ + ... + (х + 1)/2⁷ = x или (x + 1)(1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2⁷) = x. Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: х/(x + 1) = 1 - 1/2⁷ и х = 2⁷ - 1 = 127. Таким образом, всех яблок было 127.
Также, возможно решить данную задачу "с конца", без использования прогрессий.

О задаче

Категория: Прогрессии, Решение задачи с конца,
Степень сложности: средняя.
Ключевые слова: 7, покупатель, покупка, продажа, садовник, яблоко,
Источник: В царстве смекалки, Физико-математическая хрестоматия, Занимательная алгебра, Очерки о математических задачах на смекалку,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.