Старинная французская задача о торговке.

Торговка одному покупателю продала половину принесенных яиц и еще пол-яйца, другому покупателю продала половину оставшихся яиц и еще пол-яйца и т. д. Наконец, когда она седьмому покупателю также продала половину оставшихся яиц и еще пол-яйца, то у нее ничего не осталось. Сколько всего яиц продала торговка?

Ответ

127 яиц

Решение задачи

Если первоначальное число яиц х, то первый покупатель получил x/2 + 1/2 = (x + 1)/2, второй 1/2(x - (x + 1)/2) + 1/2 = (x + 1)/2², третий 1/2(x - (x + 1)/2 - (x + 1)/4) + 1/2 = (x + 1)/2³, седьмой покупатель (х + 1)/2⁷. Имеем уравнение: (х + 1)/2 + (х + 1)/2² + (х + 1)/2³ + ... + (х + 1)/2⁷ = x или (x + 1)(1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2⁷) = x. Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: х/(x + 1) = 1 - 1/2⁷ и х = 2⁷ - 1 = 127. Таким образом, всех яиц было 127.
Намного легче решается задачу "с конца" (без использования прогрессий) если сообразить, что последнему (седьмому) покупателю досталось одно целое яйцо. Значит, шестому досталось 2 яйца, пятому - 4, четвертому - 8, третьему - 16, второму - 32, первому - 64. Всего же яиц было 1+2+4+8+16+32+64=127.

О задаче

Категория: Старинные задачи, Прогрессии, Решение задачи с конца,
Степень сложности: средняя.
Ключевые слова: 7, покупатель, продажа, торговля, яйцо,
Источник: Очерки о математических задачах на смекалку, В царстве смекалки, Физико-математическая хрестоматия, Занимательная алгебра,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.