Имеется 10 одинаковых по размеру и виду кубиков.

Имеется 10 одинаковых по размеру и виду кубиков. Одни из них алюминиевые (более легкие), другие дюралевые (потяжелее). Определить число кубиков каждого вида с помощью не более шести взвешиваний на чашечных весах.

Ответ

План решения: составить пару из алюминиевого и дюралевого кубиков и сравнить вес этой пары с весом любой другой пары. Тогда результат каждого взвешивания сразу даст подсчет тех и других кубиков в испытуемой паре.

Решение задачи

Положим на чашки весов по кубику.
1) Если равновесия нет, то кубики разнородны и пара из двух разнородных кубиков получена. Сравнивая вес ее с весом каждой из четырех оставшихся пар, мы с помощью всего пяти взвешиваний подсчитаем число кубиков каждого рода.
2) Допустим теперь, что взятые для первого взвешивания 2 кубика оказались однородны (случай равновесия). Составим пару из этих кубиков и сравним вес ее с весом какой-нибудь пары из оставшихся 8 кубиков (второе взвешивание). Допустим, что опять наступило равновесие. Значит, все 4 кубика одного рода, но какого, пока неизвестно. Заменим эту пару какой-либо новой парой из оставшихся 6 кубиков (третье взвешивание). Допустим, что теперь новая пара перетянула. Значит, испытанные 4 кубика алюминиевые, а в новой паре либо оба кубика дюралевые, либо один дюралевый, а другой алюминиевый.
Чтобы выяснить состав новой пары, используем четвертое взвешивание: положим на 2 чашки весов по одному из кубиков этой пары. В случае равновесия - оба кубика дюралевые (всего, значит, из 6 кубиков - 4 алюминиевых и 2 дюралевых). Отсутствие же равновесия укажет, какой кубик дюралевый и какой алюминиевый (всего в этом случае будет 5 алюминиевых и 1 дюралевый). Но теперь в том и другом случае уже можно составить пару из алюминиевого и дюралевого кубиков и сравнить с нею 2 оставшиеся пары (пятое и шестое взвешивания). (Очевидно, что в предлагаемом способе никакого значения не имеет, на каком по счету взвешивании нарушится равновесие.)

О задаче

Категория: Задачи на взвешивание,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 6, 10, алюминий, весы, взвешивание, куб, металл,
Источник: Сборник задач по математике на сообразительность, Избранные задачи и теоремы элементарной математики,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.