Некоторые из 20 металлических кубиков одинаковых по размеру и внешнему виду.

Некоторые из 20 металлических кубиков, одинаковых по размеру и внешнему виду, алюминиевые, остальные - дюралевые (более тяжелые). Как при помощи не более 11 взвешиваний на чашечных весах без гирь определить число дюралевых кубиков? (В задаче предполагается, что все кубики могут быть алюминиевые, но дюралевыми все они быть не могут.)

Ответ

План решения: Сначала положите на чашку весов по одному кубику; затем, положив на одну чашку оба эти кубика, на вторую кладите поочередно по паре из оставшихся кубиков.

Решение задачи

Положим на чашки весов по одному кубику (первое взвешивание). При этом могут иметь место два различных случая.

1) При первом взвешивании одна чашка весов перетянула. В таком случае из двух взвешиваемых кубиков один обязательно является алюминиевым, а второй - дюралевым. Далее кладем эти два кубика на одну чашку весов, а на вторую - последовательно по паре оставшихся кубиков (разбиение 18 оставшихся кубиков на 9 пар производим произвольно). Если какая-нибудь пара кубиков перетягивает нашу пару, то это значит, что оба кубика во второй паре дюралевые; если перетягивает первая пара, то оба кубика второй пары - алюминиевые; если обе пары имеют один вес, то, значит, вторая пара тоже содержит один алюминиевый и один дюралевый кубики. Таким образом, в случае 1) мы можем определить число дюралевых кубиков при помощи 10 взвешиваний (одно взвешивание и еще 9).

2) При первом взвешивании чашки весов остались в равновесии. В таком случае кубики первой пары или оба алюминиевые, или оба дюралевые. Кладем, далее, эти два кубика на одну чашку весов, а на вторую - последовательно кладем по паре кубиков из числа оставшихся 18. Пусть первые k из этих пар оказываются одного веса с первоначальной, а (k+1)-я пара - другого веса. (Если k=9, то все кубики оказываются одного веса и, следовательно, дюралевых кубиков нет вовсе; случай k=0 ничем не отличается от общего случая.) Предположим для определенности, что (k+1)-я пара оказалась более тяжелой, чем первоначальная (рассуждение мало изменилось бы, если (k+1)-я пара оказалась бы более легкой). В таком случае первые два кубика, а следовательно, и кубики тех к пар, которые оказались с ними одного веса, обязательно алюминиевые. Итак, мы произвели пока 1+(k+1)=k+2 взвешиваний и выделили при этом k+1 пар алюминиевых кубиков. Теперь положим на чашки весов по кубику из последней взвешенной пары ((k+3)-е взвешивание). Если оба кубика окажутся одинакового веса, то оба они должны быть дюралевыми; в противном случае - один из них алюминиевый, а второй дюралевый. В обоих случаях мы можем после k+3 взвешиваний указать пару из двух кубиков, один из которых алюминиевый, а второй дюралевый. С помощью этой пары мы 8-k взвешиваниями определим число дюралевых кубиков среди оставшихся 20-2(k+2)=16-2k кубиков аналогично тому, как мы поступали в случае 1). Общее число взвешиваний в случае 2) будет равно k+3+(8-k)=11.

О задаче

Похожие задачи

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.

Оставить комментарий

Свои вопросы, комментарии, замечания и занимательные задачи присылайте через предложенную ниже форму.

Занимательные задачи

Ещё больше занимательных задач собрано в следующих разделах: