Номер автомашины.

Прогуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математиками, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифры числа были одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

Ответ

Решение задачи

Четырехзначные числа, у которых первые две цифры, равно как и две последние, порознь одинаковы, делятся на 11 без остатка; так как искомое число представляет собой точный квадрат, то оно должно делиться без остатка и на квадрат числа 11, т. е. на 121. Корень четырехзначного числа заключается между числами 31 и 100, и, следовательно, в данном случае корнями искомого числа могут быть только следующие числа: 33, 44, 55, 66, 77, 88 и 99. Из них 44, 55 и 66 не подходят, потому что квадраты чисел, оканчивающихся на 4 пли 6, имеют всегда нечетную цифру десятков, а квадраты чисел, оканчивающихся на 5, имеют всегда цифрой десятков 2. Остаются, таким образом, числа 33, 77, 88 и 99, из которых данному условию удовлетворяет только одно 88; квадрат его равен 7744.
Алгебраическое решение: обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через a, а третью (и четвертую) - через b. Тогда все число будет равно: 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11(100a + b). Число это делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 112. Иначе говоря, число 100а + b делится на 11. Применяя один из признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число a + b. Но это значит, что a + b = 11, так как каждая из цифр a, b меньше десяти. Последняя цифра b числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому для цифры а, которая равна 11 - b, находим такие возможные значения: 11, 10, 7, 6, 5, 2. Первые два значения непригодны, и остаются следующие четыре возможности: b = 4, а = 7; b = 5, a = 6; b = 6, a = 5; b = 9, а = 2. Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырех чисел: 7744, 6655, 5566, 2299. Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится на 25; число 5566 делится на 2, но не делится на 4; число 2299 = 121 × 19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 882; оно и дает решение задачи.

О задаче

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.

Оставить комментарий

Свои вопросы, комментарии, замечания и занимательные задачи присылайте через предложенную ниже форму.

Занимательные задачи

Ещё больше занимательных задач собрано в следующих разделах: