Задачка про дорогу.

Человек, который живет в левом верхнем углу прямоугольника, состоящего из городских кварталов (см. рисунок), работает в конторе, находящейся в здании, занимающем правый нижний угол прямоугольника. Легко увидеть, что кратчайший путь, которым человек может добираться до работы, равен 10 кварталам. Но ему скучно ходить каждый день одной и той же дорогой, поэтому он пытается найти разные варианты кратчайшего маршрута. Сколько он сможет найти маршрутов, равных кратчайшему, соединяющих его дом с работой?

Ответ

210

Решение задачи

Мартин Гарднер в своей книге "Mathematical Magic Show" дает следующую подсказку для данной задачи: число комбинаций, или перестановок, N объектов, A из которых одинаковы, а остальные B также одинаковы между собой, равно ^N!_A!×B!. Чтобы найти число различных кратчайших путей из одного угла сетки городских кварталов в диагонально противоположный, нужно учесть, что если длина прямоугольника составляет A кварталов, а ширина - B кварталов, то кратчайший путь из одного угла в другой, диагонально противоположный, равен A + B. Назовем эту сумму N. Любой маршрут длиной N, соединяющий два угла, может быть представлен как цепь из N символов, "A" из них соответствуют кварталам, пройденным по длине, а оставшиеся "B" - кварталам, пройденным по ширине. Если заменить каждый квартал, пройденный по длине, одноцентовой монетой, а по ширине - десятицентовой, тогда число различных вариантов кратчайшего пути можно представить как число различных способов расположения в ряд этих монеток. Каждый отдельный маршрут соответствует способу перестановки N монеток, и наоборот, каждая перестановка монеток соответствует отдельному маршруту. Подсказка для решения этой задачи - формула для числа способов расположения в ряд N объектов, A и B из которых одинаковы между собой. Прямоугольник имеет в длину 6 кварталов, а в ширину - 4. Таким образом, вычисление числа вариантов маршрутов аналогично вычислению числа способов расположения в ряд шести центовых и четырёх десятицентовых монеток. Ответ: ^10!_6!×4! = 210.

О задаче

Категория: Комбинаторика, Задачи с перестановками, Графы,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 10, город, дом, дорога, квартал, прямоугольник, работа, улица, человек,
Источник: 1000 развивающих головоломок,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.

◄ На предыдущую страницу

Оставить комментарий

Свои вопросы, комментарии, замечания и занимательные задачи присылайте через предложенную ниже форму.

Решите задачу

Дом имеет шесть этажей (расстояния между этажами равные). Двое поднимаются по лестнице; один идет на 6-й этаж, второй - на 3-й. Во сколько раз путь по лестнице на шестой этаж окажется длиннее, чем на третий этаж?

a) В 2,5 раза.
b) В 3 раза.
c) В 2 раза.
d) В 3,5 раза