Отверстие в шаре.

Через центр шара просверлено цилиндрическое отверстие длиной 6 см. Каков объем оставшейся части шара?

Ответ

36π см³

Решение задачи

Если предположить, что задача имеет единственное решение, объем оставшейся части шара не зависит от радиуса отверстия и сохраняет свое постоянное значение даже тогда, когда радиус отверстия становится равным нулю. Поэтому объем оставшейся части шара равен объему шара диаметром 6 см³, то есть 36π см³.
Классическое решение заключается в следующем: Пусть R - радиус шара. Как видно из рисунка, радиус цилиндрического отверстия равен √(R²-9), а высота сферических шапочек на концах цилиндра равна R-3. Для вычисления объема остатка, получающегося после того, как вырезаны цилиндр и шапочки, нужно прибавить объем цилиндра 6π(R²-9) к удвоенному объему сферической шапочки и вычесть эту сумму из объема шара (^4π/₃)R³. Объем "шапочки" вычисляется по формуле: ^{πА(3r²+A²)}/₆, где А - высота, а r - радиус. При вычислении все члены взаимно уничтожаются, кроме 36π. Это число и равно объему остатка в кубических единицах. Другими словами, объем остатка постоянен, независимо от размера сферы и диаметра отверстия.

О задаче

Категория: Геометрические задачи,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 6, объем, отверстие, цилиндр, шар,
Источник: Математические головоломки и развлечения,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.