Можно ли отлить половину сока?

Из бочки, содержащей 100 литров сока, отливают 1 литр и вливают в нее затем 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 литр смеси и опять вливают в нее 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, опять отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр воды, и так делают неоднократно.Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 литров воды и 50 литров сока?

Ответ

Нет, получить смесь, содержащую ровно 50 литров воды и 50 литров сока невозможно.

Решение задачи

После первого переливания в бочке останется 99 литров сока. Отливая из бочки 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/100 часть содержащегося в смеси сока. Поэтому после второго переливания в бочке останется 99-1/100×99=99×(1-1/100) литров сока. После n-ного переливания в бочке останется 99×(1-1/100)^n-1 литров сока. Если бы после этого в бочке оставалось 50 литров сока, то выполнилось бы равенство 99×(1-1/100)^n-1=50. Это равенство можно представить и так: 99ⁿ=50×100^n-1. Поскольку для любого натурального n левая часть равенства нечетная, а правая четная, получаем противоречие, доказывающее, что требуемое переливание невозможно.

О задаче

Категория: Задачи на переливание, Старинные задачи, Инвариант, Четность,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 1, 50, 100, бочка, вода, смесь, сок,
Источник: Старинные занимательные задачи,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.