Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц.

Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй:
- Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров.
Вторая ответила:
- А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6²/₃ крейцера.
Сколько яиц было у каждой?

Ответ

Первая крестьянка принесла 40 яиц и, значит, вторая 60.

Решение задачи

Данная задача описана во "Введении в алгебру" Леонарда Эйлера. Пусть у первой крестьянки х яиц, тогда у второй 100-х. Если бы первая имела 100-х яиц, она выручила бы, мы знаем, 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продала яйца по цене 15/(100 - x) за штуку. Таким же образом находим, что вторая крестьянка продавала яйца по цене 6²/₃ ÷ x = ²⁰/_3x за штуку. Теперь определяется действительная выручка каждой крестьянки: первой: x × 15/(100 - x) = 15x/(100 - x), второй: (100 - х) × ²⁰/_3x = 20(100 - x)/3x. Так как выручки обеих одинаковы, то 15x/(100 - x) = 20(100 - x)/3x. После преобразований имеем: х2 + 160x - 8000 = 0, откуда х1 = 40, x2 = - 200. Отрицательный корень в данном случае не имеет смысла; у задачи - только одно решение: первая крестьянка принесла 40 яиц и, значит, вторая 60.

Задача может быть решена другим, более кратким способом. Этот способ гораздо остроумнее, но зато и отыскать его значительно труднее. Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свой яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в к² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем: k² = 15 ÷ 6²/₃ = 45/20 = 9/4; отсюда k = 3/2. Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3:2. Легко находим, что первая крестьянка имела 40, а вторая 60 яиц.

О задаче

Категория: Старинные задачи,
Степень сложности: средняя.
Ключевые слова: 2, 15, 100, крестьянка, продажа, торговля, Эйлер Леонард, яйцо,
Источник: Старинные занимательные задачи, Занимательная алгебра, Сборник старинных задач по элементарной математике,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.