Сколько всего имеется шестизначных чисел?

Сколько всего имеется шестизначных чисел, сумма цифр которых равна трем?

Ответ

Решение задачи

В шестизначных числах, сумма цифр которых равна 3, могут быть:
1) одна тройка, остальные цифры - нули;
2) одна двойка и одна единица, остальные 4 цифры - нули;
3) три единицы, а остальные 3 цифры - нули.
Во всех случаях первая цифра шестизначного числа - не нуль.
В первую группу входит единственное число - 300 000.
Числа второй группы могут начинаться или единицей или двойкой. Если число имеет вид 1*****, то двойка может занимать любое из пяти мест, следующих за единицей: всего таких чисел будет 5. То же самое можно сказать и про числа вида 2*****. Значит, всего чисел второй группы будет 5+5=10.
Числа третьей группы имеют вид: 11****, или 1*1***, или 1**1**, или 1***1*, или 1 ***!, причем в каждом из этих 5 чисел третья единица может стоять только на месте любой из звездочек, следующих за второй единицей (в противном случае окажутся повторяющиеся числа). Таким образом, из первого числа 11**** можно составить 4 числа, из второго 1*1*** - 3 новых числа, из третьего - 2 новых числа и из четвертого - 1 новое число (из пятого числа 1****1 новых чисел составить нельзя). Всего чисел третьей группы будет 4+3+2+1=10.
Итак, чисел, удовлетворяющих условиям задачи, окажется 1+10+10=21.

О задаче

Категория: Комбинаторика, Задачи с перестановками,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 3, 6, сложение, сумма, цифра, число,
Источник: Сборник задач по математике на сообразительность,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.