Из прямоугольников одинакового периметра квадрат имеет наибольшую площадь.

Показать алгебраически, что из прямоугольников одинакового периметра квадрат имеет наибольшую площадь.

Ответ

Автором задачи является виднейший английский математик Джон Валлис (1616-1703) профессор Оксфордского университета, составитель многих трактатов по математике.
Обозначим через р полупериметр прямоугольника, а через х - одну из его сторон, тогда для площади S будем иметь формулу:
S = x(p - x) или x² - px + S = 0.
Решая это уравнение, получаем:
x = ^p/₂ ± √(^p²/₄ - S).
Ясно, что х будет действительным только при S ≤ ^p²/₄, причем наибольшее значение для S будет ^p²/₄ т. е. S_max = ^p²/₄, когда x = ^p/₂.

О задаче

Категория: Старинные задачи, Геометрические задачи, Задачи на максимум и минимум,
Степень сложности: средняя.
Ключевые слова: Валлис Джон, квадрат, периметр, площадь, прямоугольник,
Источник: Сборник старинных задач по элементарной математике,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.