Брошены три игральных кубика.

Брошены три игральных кубика. Какова вероятность, что сумма очков на их верхних гранях будет равна их произведению?

Ответ

1/36

Решение задачи

Прежде всего необходимо определить, при каких значениях a, b и с, каждое из которых целое число от 1 до 6, выполняется равенство a+b+c=a×b×c. Имеем: ¹/_bc+¹/_ac+¹/_ab=1. Это равенство возможно в двух случаях:
1) если каждая из дробей равна ¹/₃ , т. е. если bс=ас=ab=3;
2) если среди дробей имеются дроби, большие и меньше ¹/₃.
Первое предположение отпадает, так как если bс = ас, то а = Ь и а² = 3, что невозможно. Пусть дробь, большая ¹/₃, есть ¹/_ab. Но при натуральных а и b неравенство ¹/_ab > ¹/₃ выполняется лишь при аb = 1 и при аb = 2. Допущение аb = 1 сразу отпадает, так как в этом случае ¹/_bc+¹/_ac=0, что невозможно. Значит, аb = 2, т. е. одно из этих чисел 1, а другое 2. Но тогда 3+с=2с и с=3; таким образом, единственно возможными значениями а, b и с являются числа 1, 2 и 3. При выбрасывании игральных кубиков такая комбинация чисел может возникнуть в 6 случаях: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 3, 1, 2; 2, 3, 1; 3, 2, 1. Определим вероятность появления одной из этих комбинаций, например 2, 3, 1. Вероятность, что при бросании первого кубика на верхней грани будет 2, равна ¹/₆. Вероятность, что при бросании одного за другим двух кубиков на первом будет 2, а на втором 3, равна ¹/₆×¹/₆=¹/_6². Наконец, вероятность, что при бросании трех кубиков появится последовательность 2, 3, 1, равна ¹/_6³. Вероятность же того, что при бросании трех кубиков появится какая-нибудь из шести указанных комбинаций, очевидно, равна ⁶/_6³=¹/₃₆.

О задаче

Категория: Задачи на вероятность, Комбинаторика,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 3, игральная кость, сложение, сумма, умножение,
Источник: Сборник задач по математике на сообразительность,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.