Начальник цеха пригласил на совещание несколько человек.

Начальник цеха пригласил на совещание несколько человек. Каждый участник совещания, входя в кабинет начальника цеха, обменивался рукопожатием со всеми присутствующими. Сколько было участников совещания, если было зафиксировано 78 рукопожатий?

Ответ

Решение задачи

Для одного человека (начальника цеха) количество рукопожатий равно 0. Когда приходит второй, он жмет руку только начальнику цеха, потому что больше никого пока нет. Значит, для двух человек количество рукопожатий равно 1. Третий пожмет руки им обоим, сделав 2 рукопожатия, а общее количество рукопожатий станет равным 1+2=3. Четвертый пожмет руки трем присутствующим, сделав три рукопожатия, и общее число рукопожатий получится 1+2+3=6. Пятый пожмет руки 4 раза и увеличит общее число до 4+3+2+1=10. Для n человек количество рукопожатий равно (n-1) + (n-2) + ... + (n-(n-1)). В нашем примере, легко можно посчитать количество участников совещания последовательным сложением чисел начиная с единицы: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78. Таким образом, участников совещания было 12+1=13.

Также его можно вычислить по формуле n² + n = 2R (где n - количество людей, а R - количество рукопожатий).
n² + n = 78×2=156.
D=1² - 4×1×(-156) = 1 + 624 = 625
x1=(-1-√625)/(2×1)=-13
x2=(-1+√625)/(2×1)=12
Так как наша последовательность сдвинута на единицу (потому что первый человек не пожимает руки никому, а отсчет начинается со второго пришедшего), то мы прибавляем к 12 единицу и получаем 13 - это и будет правильный ответ.

О задаче

Категория: Комбинаторика, Задачи с перестановками,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 78, начальник, рукопожатие, совещание, цех,
Источник: Математическая шкатулка,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.