На каждой из 15 планет расстояния между которыми попарно различны.

На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, каждый из которых наблюдает за ближайшей к нему планетой. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает.

Ответ

Отметим сразу, что если на какую-нибудь планету смотрят сразу два астронома, то на какую-то планету никто не смотрит (так как планет и астрономов одинаковое количество). Предположим поэтому, что за каждой планетой наблюдает ровно один астроном. Рассмотрим две планеты, расстояние между которыми наименьшее среди всех попарных расстояний. Ясно, что астрономы, находящиеся на этих двух планетах, смотрят друг на друга. Посмотрим теперь на оставшиеся 13 планет. Из них опять можно выбрать две с наименьшим расстоянием - астрономы, находящиеся на них, должны смотреть друг на друга. Продолжая такие рассуждения, мы найдем планету, которую никто не наблюдает (так как число 15 нечетно).

О задаче

Категория: Правило крайнего, Четность,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 15, планета, телескоп,
Источник информации для задачи не указан.

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.