Какой прямоугольник?

Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какой длины должны они быть, чтобы периметр прямоугольника численно равнялся его площади?

Ответ

Искомая фигура либо прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.

Решение задачи

Обозначив стороны прямоугольника через х и у, составляем уравнение: 2х + 2y = хy, откуда x = 2y/(y - 2). Так как х и y должны быть положительными, то положительным должно быть и число y - 2, т. е. y должно быть больше 2. Заметим теперь, что x = 2y/(y - 2) = (2(y - 2) + 4)/(y - 2) = 2 + 4/(y - 2).Так как х должно быть целым числом, то выражение 4/(y - 2) должно быть целым числом. Но при y > 2 это возможно лишь, если у равно 3, 4 или 6. Соответствующие значения х будут 6, 4, 3. Итак, искомая фигура есть либо прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.

О задаче

Категория: Геометрические задачи,
Степень сложности: средняя.
Ключевые слова: периметр, площадь, прямоугольник, число,
Источник: Занимательная алгебра,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.