Два железнодорожных пути скрещиваются под прямым углом.

Два железнодорожных пути скрещиваются под прямым углом. К месту скрещения одновременно мчатся по этим путям два поезда: один со станции, находящейся в 40 км от скрещения, другой со станции в 50 км от того же места скрещения. Первый делает в минуту 800 м, второй - 600 м. Через сколько минут, считая с момента отправления, паровозы были в наименьшем взаимном расстоянии? И как велико это расстояние?

Ответ

Паровозы окажутся ближе всего друг к другу через 62 мин., и взаимное их удаление тогда будет 16 км.

Решение задачи

Начертим схему движения поездов нашей задачи. Пусть прямые АВ и CD - скрещивающиеся пути (левый рисунок). Станция В расположена в 40 км от точки скрещения О, станция D - в 50 км от нее. Предположим, что спустя х минут паровозы будут в кратчайшем взаимном расстоянии друг от друга MN = m. Поезд, вышедший из В, успел к этому моменту пройти путь ВМ = 0,8x, так как за минуту он проходит 800 м = 0,8 км. Следовательно, ОМ = 40 - 0,8x. Точно так же найдем, что ОN = 50 - 0,6x. По теореме Пифагора MN = m = √(OM² + ON²) = √((40-0,8x)² + (50-0,6x)²). Возвысив в квадрат обе части уравнения и сделав упрощения, получаем: х² - 124x + 4100 - m² = 0. Решив это уравнение относительно х, имеем: x = 62 ± √(m² - 256). Так как х - число протекших минут - не может быть мнимым, то m2 - 256 должно быть величиной положительной, или в крайнем случае равняться нулю. Последнее соответствует наименьшему возможному значению m, и тогда m² = 256, т. е. m = 16. Очевидно, что m меньше 16 быть не может, иначе х становится мнимым. А если m² - 256 = 0, то х = 62. Итак, паровозы окажутся ближе всего друг к другу через 62 мин., и взаимное их удаление тогда будет 16 км.

Определим, как они в этот момент расположены. Вычислим длину ОМ; она равна 40 - 62 × 0,8 = -9,6. Знак минус означает, что паровоз пройдет за скрещение на 9,6 км. Расстояние же ON равно 50 - 62 × 0,6 = 12,8. т. е. второй паровоз не дойдет до скрещения на 12,8 км. Расположение паровозов показано на правом рисунке. Как видим, оно вовсе не то, какое мы представляли себе до решения задачи. Уравнение оказалось достаточно терпимым и, несмотря на неправильную схему, дало правильное решение. Нетрудно понять, откуда эта терпимость: она обусловлена алгебраическими правилами знаков.

О задаче

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.

Оставить комментарий

Свои вопросы, комментарии, замечания и занимательные задачи присылайте через предложенную ниже форму.

Занимательные задачи

Ещё больше занимательных задач собрано в следующих разделах: