Число людей сделавших нечетное число рукопожатий четно.

Докажите, что из всех людей, живших когда-либо на свете (и живущих сейчас), число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, есть число четное.

Ответ

Когда кто-либо делает рукопожатие, то его партнер тоже делает рукопожатие. Таким образом, общее число всех рукопожатий - число четное. Это четное число можно рассматривать как сумму двух слагаемых:
первое - общее число всех рукопожатий, совершенных теми, кто сделал за свою жизнь четное число рукопожатий. Это слагаемое, очевидно, число четное.
Второе - общее число всех рукопожатий, совершенных теми, кто сделал за свою жизнь нечетное число рукопожатий.
Так как сумма и первое слагаемое - числа четные, то и второе слагаемое должно быть четным.Но это второе слагаемое, в свою очередь, является суммой слагаемых, каждое из которых есть число рукопожатий, сделанных за свою жизнь одним человеком, т е. число слагаемых этой суммы равно числу людей, сделавших нечетное число рукопожатий Но сумма нечетных слагаемых - число четное лишь в том случае, если число слагаемых четное. Значит, четным будет и число людей, сделавших нечетное число рукопожатий.

О задаче

Категория: Графы, Четность,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: рукопожатие, человек,
Источник: Сборник задач по математике на сообразительность, Математические головоломки и развлечения, Избранные задачи и теоремы элементарной математики,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.