Задача Ньютона про луг.

Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. 70 коров могут поесть ее за 24 дня, а 30 коров - за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней?

Ответ

20 коров.

Решение задачи

Эта задача была сформулирована еще Исааком Ньютоном.

Первый метод: Пусть каждый день на лугу вырастает х травы. Весь луг возьмем за 1.
Первое условию: за 24 дня вырастет 24х травы, следовательно, вся трава на лугу составит (1+24х). Тогда все стадо съедает (1+24х)/24, а одна корова съест (1+24х)/(24*70).
Второе условие: За 60 дней вырастет (1+60х) травы, а стадо съест (1+60х)/60, скледовательно, одна корова съест: (1+60х)/(60*30).
Поскольку коровы едят одинаковое количество травы, эти значения можно приравнять:
(1+60х)/(60*30)=(1+24х)/(24*70) ⇒ (1+60х)/300=(1+24х)/28 ⇒ 28+1680х=30+720х ⇒ 1680-720х=30-28 ⇒ 960х=2 ⇒ х=2/960 ⇒ х=1/480 луга растет за 1 день.
Теперь можно определить какую часть луга съедает 1 корова за 1 день: (1+60*1/480)/(60*30)=(1+1/8)/1800=9/8:1800=1/1600
Рассчитаем, сколько коров понадобиться, чтобы съесть всю траву за 96 дней:
1+96*1/480=1,2 пирост травы на лугу ⇒ 1,2:96=1/80 часть луга которую съедает стадо ⇒ 1/80:1/1600=20. Таким образом, понадобиться 20 коров, чтобы съесть всю траву за 96 дней.

Второй метод: Все коровы в день съедают одинаковую порцию. Трава тоже растет с одинаковой скоростью. Значит:
70 * 24 = 1 680 дней - съела бы 1 корова всю траву. Другими словами, за 24 дня вырастает 1 680 порций травы.
30 * 60 = 1 800 дней = порций, значит: 1 800 - 1 680 = 120 порций вырастает дополнительно за : 60 - 24 = 96 - 60 = 36 дней
1 800 + 120 = 1 920 порций - вырастает за 96 дней ⇒ 1 920 : 96 = 20. Таким образом, понадобиться 20 коров, чтобы съесть всю траву за 96 дней.

О задаче

Категория: Старинные задачи,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 24, 30, 60, 70, 95, корова, луг, Ньютон Исаак, трава, стадо,
Источник: Математическая шкатулка, Занимательная алгебра, Сборник задач по математике на сообразительность,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.