Можно ли повернуть стол так, чтобы двое оказались против карточек с их именами?

Двадцать четыре участника важных переговоров проводят заседания за круглым столом, сидя на одинаковом расстоянии друг от друга. Место каждого участника за столом указано карточкой с его именем. Как-то раз после бурного обсуждения - одного из пунктов повестки дня в кулуарах участники переговоров, сев за стол, обнаружили, что по ошибке каждый из них занял не свое место. Точное расположение участников за столом не известно. Можно ли тем не менее повернуть стол так, чтобы по крайней мере двое из участников переговоров оказались против карточек с их именами?

Ответ

Можно

Решение задачи

Воспользуемся так называемым принципом Дирихле: невозможно разместить N предметов в N-1 ячейках так, чтобы в каждой ячейке было по одному предмету. Примем за исходное положение стола, в котором ни один участник переговоров не сидит "на своем месте" (против карточки со своим именем). Поворачивая стол относительно исходного положения на k/24 долю окружности, где 1≤k≤23, мы всегда можем добиться, чтобы любой из них оказался против карточки со своим именем. Участников переговоров 24, а положений стола, отличных от исходного, - 23. Следовательно, стол всегда можно повернуть так, что в новом положении по крайней мере двое из участников переговоров окажутся против карточек с их именами. Приведенное доказательство применимо независимо от того, четно или нечетно число мест.

О задаче

Категория: Принцип Дирихле,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 2, 24, имя, совещание, стол,
Источник: Математические новеллы,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.