Предполагается использовать 2000 р. на путевки в дома отдыха.

Предполагается использовать 2000 р. на путевки в дома отдыха. Путевки имеются на 15, 27 и 45 дней, стоимость их соответственно 21, 40 и 60 р. Сколько и каких путевок нужно купить, чтобы общее число дней отдыха было наибольшим?

Ответ

25 путевок на 45 дней, 2 путевки на 27 дней и 20 путевок на 15 дней.

Решение задачи

Пусть надо купить x путевок первого типа. y путевок второго и z третьего. По условию 21x+40y+60z=2000. Кроме того, x,y - целые неотрицательные числа и выражение z (общее число дней отдыха) максимально. Выясним, какой тип путевок самый выгодный, т.е. где один рубль дает наибольшее число дней отдыха. По путевкам первого типа один рубль дает 15x+27y+45z дней отдыха, по путевкам второю типа - 15/21, а по путевкам третьего типа - 27/40 дней отдыха. Сравнивая эти дроби, выясняем, что путевки третьего типа самые выгодные. Получим теперь ограничения на 45/60 и x На 420 рублей можно купить либо 20 путевок первого типа, либо 7 путевок третьего типа. При этом число дней отдыха будет соответственно 300 и 315. Значит, при оптимальном выборе y, будет выполнено неравенство x,y,z. Действительно, если x<20, то можно вместо 20 путевок первого типа купить 7 путевок третьего. Тогда потраченная сумма будет такая же, а число дней отдыха увеличится, т.е. выбор таких x>=20, что x>=20. не оптимален. Далее, на 120 рублей можно купить 3 путевки второго типа или 2 путевки третьего типа. При этом число дней отдыха будет соответственно 81 и 90. Рассуждая аналогично, получим y<3. Перепишем уравнение 21x+40y+60z=2000 в виде 21x=2000-40y-60x. Отсюда видно, что 21x делится на 10. Значит, x равно либо 0, либо 10, а y одно из чисел 0, 1, 2. Перебором устанавливаем, что x=0,y=2,z=32

О задаче

Категория: Задачи на максимум и минимум,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 15, 21, 27, 40, 45, 60, 2000, дом отдыха, путевка,
Источник: Математическая шкатулка,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.