Современная задача Кэррола.

В урне имеется несколько черных и несколько белых шаров. Точное число белых и черных шаров не известно, но по крайней мере по одному шару каждого цвета в урне есть. Шары извлекаются из урны по следующим правилам. Сначала из урны наудачу извлекается один шар и откладывается в сторону, затем наудачу извлекается второй шар. Если второй шар по цвету совпадает с первым, то его также откладывают в сторону и извлекают из урны третий шар. Вообще, если извлеченный из урны очередной шар того же цвета, что и предыдущий, то его откладывают в сторону. Если же извлеченный шар оказывается другого цвета, чем предыдущий, его снова кладут в урну и, тщательно перемешав ее содержимое, извлекают из урны следующий шар. Иначе говоря, извлеченный из урны шар откладывают в сторону лишь в том случае, если происходит "смена цвета". Оказывается, что независимо от начального соотношения между числом черных и белых шаров в урне существует фиксированная вероятность того, что последний извлеченный из урны шар будет черного цвета. Чему равна эта вероятность?

Ответ

1/2

Решение задачи

В условии задачи говорится о том, что независимо от начального соотношения между числом черных и белых шаров в урне, существует фиксированная вероятность извлечь из нее последним черный шар. Но тогда вероятность извлечь последним белый шар также фиксирована. Поскольку то и другое событие равновероятны, искомая вероятность равна 1/2. Доказать, что вероятность извлечь последним черный шар действительно фиксирована, можно по индукции, начав с урны, содержащей до испытания лишь два шара.

О задаче

Категория: Задачи на вероятность,
Степень сложности: сложная.
Ключевые слова: 2, белый цвет, Кэрролл Льюис, урна, черный цвет, шар,
Источник: История с узелками, Математические новеллы,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.